Trong mặt phẳng oxy, cho đường thẳng d: 3x-5y-2=0. Viết phương trình đường thẳng là ảnh của đường thẳng d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số 2 và phép đối xứng tâm O

Đáp án:

Gọi A(x;y) là một điểm thuộc đường thẳng d: 3x - 5y - 2 = 0.

Gọi A'(x',y') là ảnh của A, d' là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số 2

Ta có: 

$\left \{ {{x'=2x} \atop {y'=2y}} \right.$  ⇔ $\left \{ {{x=x'/2} \atop {y=y'/2}} \right.$

Thay $\left \{ {{x=x'/2} \atop {y=y'/2}} \right.$ vào phương trình đường thẳng d: 

      d': 3.$\frac{x'}{2}$ - 5.$\frac{y'}{2}$ - 2 = 0

⇔  d': 3x' - 5y' - 4 = 0

Gọi A''(x'',y'') là ảnh của A', d'' là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O

Ta có: 

     $\left \{ {{x''=-x'} \atop {y''=-y'}} \right.$

⇔ $\left \{ {{x'=-x''} \atop {y'=-y''}} \right.$

Thay $\left \{ {{x'=-x''} \atop {y'=-y''}} \right.$ vào phương trình d' :

d'': 3.(-x'') - 5(-y'') - 4 = 0

hay d'': 3.x'' - 5.y'' + 4 = 0.

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm: d'': 3.x'' - 5.y'' + 4 = 0.