trong không gian với hệ trục tọa độ oxyz cho điểm G(1;3;4) Mặt phẳng nào sau đây cắt các trục Ox ;Oy; Oz lần ượt tại A;B;C sao cho G là trọng tâm tứ diên OABC

Đáp án:

Phương trình mp (P) là: $12x+4y+3x-48=0$

Giải thích các bước giải:

Gọi mặt phẳng (P) là mặt phẳng cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C mà G là trọng tâm tứ diện OABC.

Do (P) cắt Ox tại A nên gọi $A(a;0;0)$, (P) cắt Oy tại B nên gọi $B(0;b;0)$, (P) cắt Oz tại C nên gọi $C(0;0;c)$

Vì G là trọng tâm tứ diện OABC nên ta có:

$\begin{cases}x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C+x_O}{4}=\dfrac a4\\y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C+y_O}4=\dfrac b4\\z_C=\dfrac{z_A+z_B+z_C+z_O}4=\dfrac c4\end{cases}$

Do $G(1;3;4)$ nên $\begin{cases}\dfrac a4=1\\\dfrac b4=3\\\dfrac c4=4\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a=4\\ b=12\\ c=16\end{cases}$

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là;

$\dfrac x4+\dfrac y{12}+\dfrac z{16}=1$

hay $12x+4y+3x-48=0$.

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: $12x+4y+3x-48=0$