Trong khai triển của (x+a) mũ 3 nhân (x-b) mũ 6 Hệ số của x mũ 7 là trừ 9 và k có số hạng chứa x mũ 8. Tìm a và b

Đáp án:

\(\begin{array}{l} b = \frac{3}{2};\,\,a = 3\\ b = - \frac{3}{2};\,\,a = - 3 \end{array}\)

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l} {\left( {x + a} \right)^3}.{\left( {x - b} \right)^6}\\ = \sum\limits_{m = 0}^3 {C_3^m{x^m}{a^{3 - m}}} .\sum\limits_{n = 0}^6 {C_6^n{x^n}{{\left( { - 1} \right)}^{6 - n}}.{b^{6 - n}}} \\ \text{Hệ số của }x^7\text{ ứng với }m + n = 7\\ \left( {m;n \in Z;\,\,0 \le m \le 3;\,\,0 \le n \le 6} \right)\\ \Rightarrow \left( {m;n} \right) \in \left\{ {\left( {1;6} \right);\left( {2;5} \right);\left( {3;4} \right)} \right\}\\ \Rightarrow \text{Hệ số của }x^7\text{ là:}\\ C_3^1.{a^2}.C_6^6.{\left( { - 1} \right)^0}.{b^0} + C_3^2.a.C_6^5.{\left( { - 1} \right)^{ - 1}}.{b^1} + C_3^3.{a^0}.C_6^3.{\left( { - 1} \right)^2}{b^2}\\ = 3{a^2} - 18ab + 20{b^2}\\ \Rightarrow 3{a^2} - 18ab + 20{b^2} = - 9\,\,\left( 1 \right)\\ \text{Hệ số của số hạng chứa }x^8\text{ ứng với }m + n = 8\\ \left( {m;n \in Z;\,\,0 \le m \le 3;\,\,0 \le n \le 6} \right)\\ \Rightarrow \left( {m;n} \right) \in \left\{ {\left( {2;6} \right);\left( {3;5} \right)} \right\}\\ \Rightarrow \text{Hệ số của }x^7\text{ là}:\\ C_3^2.{a^1}.C_6^6.{\left( { - 1} \right)^0}.{b^0} + C_3^3.{a^0}.C_6^5.{\left( { - 1} \right)^1}{b^1}\\ = 3a - 6b\\ \text{Khai triển không có số hạng chứa }x^8\\ \Rightarrow 3a - 6b = 0 \Rightarrow a = 2b\\ \text{Thay vào }\left( 1 \right):\,\,3{\left( {2b} \right)^2} - 18\left( {2b} \right).b + 20{b^2} = - 9\\ \Leftrightarrow 12{b^2} - 36{b^2} + 20{b^2} = - 9\\ \Leftrightarrow - 4{b^2} = - 9 \Leftrightarrow {b^2} = \frac{9}{4} \Leftrightarrow b = \pm \frac{3}{2}\\ \text{Với }b = \frac{3}{2} \Rightarrow a = 3\\ \text{Với }b = - \frac{3}{2} \Rightarrow a = - 3 \end{array}\)