tình gtln và gtnn của biểu thức B=x^2-x+1/x^2+x+1

Đáp án:

GTLN $B = 3$ khi $x = - 1$

GTNN $B = \frac{1}{3}$ khi $x = 1$

Giải thích các bước giải:

ĐKXĐ : $x^{2} + x + 1 \ne 0$

⇔ $( x + \frac{1}{2} )^{2} + \frac{3}{4} \ne 0$ 

Nhận xét : $( x + \frac{1}{2} )^{2} + \frac{3}{4} > 0$ với $∀ x ∈ R$

⇒ $x ∈ R$ 

+) Ta đi chứng minh : $B ≤ 3$ với $∀ x ∈ R$

⇔ $\frac{x^{2}-x+1}{x^{2}+x+1} ≤ 3$

⇔ $x^{2} - x + 1 ≤ 3( x^{2} + x + 1 )$

⇔ $x^{2} - x + 1 ≤ 3x^{2} + 3x + 3$

⇔ $2x^{2} + 4x + 2 ≥ 0$

⇔ $x^{2} + 2x + 1 ≥ 0$

⇔ $( x + 1 )^{2} ≥ 0$ luôn đúng với $∀ x ∈ R$

Dấu "=" xảy ra ⇔ $x + 1 = 0 ⇔ x = - 1$

⇒ GTLN $B = 3$ khi $x = - 1$

+) Ta đi chứng minh : $B ≥ \frac{1}{3}$ với $∀ x ∈ R$

⇔ $\frac{x^{2}-x+1}{x^{2}+x+1} ≥ \frac{1}{3}$

⇔ $3( x^{2} - x + 1 ) ≥ x^{2} + x + 1$

⇔ $3x^{2} - 3x + 3 ≥ x^{2} + x + 1$

⇔ $2x^{2} - 4x + 2 ≥ 0$

⇔ $x^{2} - 2x + 1 ≥ 0$

⇔ $( x - 1 )^{2} ≥ 0$ luôn đúng với $∀ x ∈ R$

Dấu "=" xảy ra ⇔ $x - 1 = 0 ⇔ x = 1$

⇒ GTNN $B = \frac{1}{3}$ khi $x = 1$