Tính E=1/2√1+1√2 + 1/3√2+2√3 +... + 1/25√24+24√25

Đáp án:

\({4 \over 5}\)

Giải thích các bước giải:

$$\eqalign{ & E = {1 \over {2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + {1 \over {3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + {1 \over {25\sqrt {24} + 24\sqrt {25} }} \cr & {1 \over {\left( {k + 1} \right)\sqrt k + k\sqrt {k + 1} }} \cr & = {{\left( {k + 1} \right)\sqrt k - k\sqrt {k + 1} } \over {{{\left( {k + 1} \right)}^2}k - {k^2}\left( {k + 1} \right)}} \cr & = {{\left( {k + 1} \right)\sqrt k - k\sqrt {k + 1} } \over {k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 1 - k} \right)}} \cr & = {{\left( {k + 1} \right)\sqrt k - k\sqrt {k + 1} } \over {k\left( {k + 1} \right)}} \cr & = {1 \over {\sqrt k }} - {1 \over {\sqrt {k + 1} }} \cr & \Rightarrow E = {1 \over {\sqrt 1 }} - {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }} - {1 \over {\sqrt 3 }} + ... + {1 \over {\sqrt {24} }} - {1 \over {\sqrt {25} }} \cr & \,\,\,\,\,\,E = {1 \over {\sqrt 1 }} - {1 \over {\sqrt {25} }} = 1 - {1 \over 5} = {4 \over 5} \cr} $$