tìm x,y sao cho √(x+y-z)=√x+√y-√z

Đáp án:

\(\left[ \begin{array}{l}x = z , x ≥ 0 , y ≥ 0\\y = z , x ≥ 0 , y ≥ 0\end{array} \right.\) 

Giải thích các bước giải:

ĐKXĐ : $x + y - z ≥ 0 , x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0$

Ta có :

$\sqrt[]{x+y-z} = \sqrt[]{x} + \sqrt[]{y} - \sqrt[]{z}$

⇔ $\sqrt[]{x+y-z} + \sqrt[]{z} = \sqrt[]{x} + \sqrt[]{y}$

⇔ $( \sqrt[]{x+y-z} + \sqrt[]{z} )^{2} = ( \sqrt[]{x} + \sqrt[]{y} )^{2}$

⇔ $x + y - z + 2\sqrt[]{z(x+y-z)} + z = x + 2\sqrt[]{xy} + y$

⇔ $x + y + 2\sqrt[]{xz+yz-z^{2}} = x + y + 2\sqrt[]{xy}$

⇔ $2\sqrt[]{xz+yz-z^{2}} = 2\sqrt[]{xy}$

⇔ $xz + yz - z^{2} = xy$

⇔ $xz + yz - z^{2} - xy = 0$

⇔ $( xz - z^{2} ) - ( xy - yz ) = 0$

⇔ $z( x - z ) - y( x - z ) = 0$

⇔ $( x - z )( z - y ) = 0$

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x=z\\y=z\end{array} \right.\) 

TH1 : $x = z$

⇒ $\sqrt[]{x+y-x} = \sqrt[]{x} + \sqrt[]{y} - \sqrt[]{x}$

⇔ $\sqrt[]{y} = \sqrt[]{y}$ luôn đúng với $∀ y ≥ 0$

⇒ $x = z , x ≥ 0 , y ≥ 0$

TH2 : $y = z$

⇒ $\sqrt[]{x+y-y} = \sqrt[]{x} + \sqrt[]{y} - \sqrt[]{y}$

⇔ $\sqrt[]{x} = \sqrt[]{x}$ luôn đúng với $∀ x ≥ 0$

⇒ $y = z , x ≥ 0 , y ≥ 0$

Kết hợp 2 trường hợp ⇒ \(\left[ \begin{array}{l}x = z , x ≥ 0 , y ≥ 0\\y = z , x ≥ 0 , y ≥ 0\end{array} \right.\)