Tìm x,y biết $5^{x}$ = $y^{4}$ + 4y + 1

\(x,y\in N\)

Giả sử \(x\) là số lẻ

\(5≡2\pmod{3}\\\to 5^x≡2\pmod{3}\\\to y^4+4y+1≡2\pmod{3}\\\to y^4+4y≡1\pmod{3}\)

Một số chính phương khi chia \(3\) chỉ có thể dư \(0\) hoặc \(1\)

\(\to y^4≡0\pmod{3}, y^4≡1\pmod{3}\)

Xét \(y^4≡0\pmod{3}\)

\(\to 4y≡1\pmod{3}\\4≡1\pmod{3}\\\to y≡1\pmod{3}\\\to y^4≡1\pmod{3}\)

(Vô lí)

Xét \(y^4≡1\pmod{3}\)

\(\to 4y≡0\pmod{3}\\4≡1\pmod{3}\\\to y≡0\pmod{3}\\\to y^4≡0\pmod{3}\)

(Vô lí)

Do đó giả sử \(x\) là số lẻ là sai

Vì thế chỉ tồn tại duy nhất \(x\) là số chẵn

Ta thấy: \(y^4+4y+1>y^4\)

Mặt khác:

\(4y<4y^2\to 4y+4<4y^2+4\to 4y+1<4y+4<4y^2+4\to 4y+1<4y^2+4\\\to y^4+4y+1<(y^2+2)^2\\\to y^4<y^4+4y+1<(y^2+2)^2\)

Mà \(y\in N\to y^4+4y+1=(y^2+1)^2\)

\(\to y^4+4y+1=y^4+2y^2+1\\\to 2y^2-4y=0\\\to 2y(y-2)=0\\\to y=0,y=2\)

Với \(y=0\to 5^x=1\to 5^x=5^0\to x=0\) (Tm)

Với \(y=2\to 5^x=5^2\to x=2\) (Tm)

Thử lại ta thấy cặp \((x;y)=(2;2), (0;0)\) thỏa mãn.

tìm x,y,z biết: 

a) (x+1)/3 = (y+2)/4 = (z+3)/5 và x+y+z=18

b) (x+

tìm x,y,z biết: 

a) (x+1)/3 = (y+2)/4 = (z+3)/5 và x+y+z=18

b) (x+1)/2 = (y+3)/4 = (z+5)/6 và 2x+3y+4z=9

#Toán lớp 71)/2 = (y+3)/4 = (z+5)/6 và 2x+3y+4z=9

#Toán lớp 7