Tìm `x` sao cho $\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^{\dfrac{1}{2}}+\left(1-\dfrac{1}{x}\right)^{\dfrac{1}{2}}=x$.

Đáp án: $x = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} $

Giải thích các bước giải:

ĐKXĐ :

$ x - \dfrac{1}{x} ≥ 0 ⇔ \dfrac{x² - 1}{x} ≥ 0 ⇔ - 1 ≤ x < 0; x ≥ 1$

$ 1 - \dfrac{1}{x} ≥ 0 ⇔ \dfrac{x - 1}{x} ≥ 0 ⇔ x < 0; x ≥ 1$

Kết hợp lại $: - 1 ≤ x < 0; x ≥ 1$

$PT ⇔ \sqrt{x - \dfrac{1}{x}} + \sqrt{1 - \dfrac{1}{x}} = x (1)$

- Nếu $- 1 ≤ x < 0 ⇒ VT > 0; VP < 0 $ ko thỏa mãn $(1)$

- Nếu $ x = 1 ⇒ VT = 0; VP = 1$ ko thỏa mãn $(1)$

- Xét $x > 1 ⇒ x - \dfrac{1}{x} > 1 - \dfrac{1}{x} $

$ ⇒ \sqrt{x - \dfrac{1}{x}} > \sqrt{1 - \dfrac{1}{x}} $ nên có thể nhân 2 vế

của $(1)$ với lượng $: \sqrt{x - \dfrac{1}{x}} - \sqrt{1 - \dfrac{1}{x}} > 0$

$ (1) ⇔ (x - \dfrac{1}{x}) - (1 - \dfrac{1}{x}) = x(\sqrt{x - \dfrac{1}{x}} - \sqrt{1 - \dfrac{1}{x}})$

$ ⇔ \sqrt{x - \dfrac{1}{x}} - \sqrt{1 - \dfrac{1}{x}} = 1 - \dfrac{1}{x} (2)$

$(1) + (2) $ vế với vế :

$ 2\sqrt{x - \dfrac{1}{x}} = x - \dfrac{1}{x} + 1 ⇔ (\sqrt{x - \dfrac{1}{x}} - 1)² = 0$

$ ⇔ \sqrt{x - \dfrac{1}{x}} = 1 ⇔ x - \dfrac{1}{x} = 1$

$ ⇔ x² - x - 1 = 0 ⇔ x = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} > 1 (TM)$

(Loại bỏ nghiệm $x = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} < 0 $)