Tìm `x` để giá trị biểu thức sau là số nguyên: $\frac{3\sqrt{x} - 5}{\sqrt{x} - 3}$

$\textit{Đáp án + Giải thích các bước giải:}$

$\text{$\dfrac{3\sqrt{x} - 5}{\sqrt{x} - 3}$ ($x^{}$ $\geq$ 0; $x^{}$ $\neq$ 9)}$

$\text{= $\dfrac{3\sqrt{x} - 9 + 4}{\sqrt{x} - 3}$ = $\dfrac{3(\sqrt{x} - 3) + 4}{\sqrt{x} - 3}$ = 3 + $\dfrac{4}{\sqrt{x} - 3}$}$

$\text{Để biểu thức có giá trị nguyên thì 4 $\vdots$ $\sqrt{x}$ - 3}$

$\text{⇒ $\sqrt{x}$ - 3 ∈ $Ư_{(4)}$ = {± 1; ± 2; ± 4}}$

$\text{Ta có bảng giá trị:}$

\begin{array}{|c|c|c|}\hline \sqrt{x} - 3\text{}&\text{-4}&\text{-2}&\text{-1}&\text{1}&\text{2}&\text{4}\\\hline \sqrt{x}\text{}&\text{-1}&\text{1}&\text{2}&\text{4}&\text{5}&\text{7}\\\hline x\text{}&\text{không tìm được}&\text{1}&\text{4}&\text{16}&\text{25}&\text{49}\\\hline \text{}&\text{}&\text{tm}&\text{tm}&\text{tm}&\text{tm}&\text{tm}\\\hline\end{array}

$\text{Vậy để biểu thức có giá trị nguyên thì:}$

$\text{x ∈ {1; 4; 16; 25}}$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

$\dfrac{3\sqrt{x} - 5}{\sqrt{x} - 3}= \dfrac{3\sqrt{x} - 9 + 4}{\sqrt{x} - 3} = \dfrac{3(\sqrt{x} - 3) + 4}{\sqrt{x} - 3} = 3 + \dfrac{4}{\sqrt{x} - 3}\\\text{để biểu thức có gtn thì}~4 \vdots \sqrt{x} - 3\\ ⇔ \sqrt{x} - 3 ∈ Ư(4) \\\sqrt{x} - 3 \in \{± 1; ± 2; ± 4\}\\ta ~ lập ~ bảng:\\\begin{array}{|c|c|c|}\hline \sqrt{x} - 3\text{}&\text{$-4$}&\text{$-2$}&\text{$-1$}&\text{1}&\text{2}&\text{4}\\\hline \sqrt{x}&\text{$-1$}&\text{1}&\text{2}&\text{4}&\text{5}&\text{7}\\\hline \text{x}&\text{$\emptyset$}&\text{1(t/m)}&\text{4(t/m)}&\text{16(t/m)}&\text{25(t/m)}&\text{49(t/m)}\\\hline \end{array}\\ vậy ~ để ~ biểu ~ thức ~ nguyên ~ thì \\x \in \{1,4,16,25\}$

chúc bạn học tốt T^T