Tìm `x` biết `|x - 2| + |x - 4| + |x - 6| = 4`

Đáp án:

 `x=4`

Giải thích các bước giải:

`\qquad |x-2|+|x-4|+|x-6|=4` `(1)`

Ta có: 

`x-2=0=>x=2`

`x-4=0=>x=4`

`x-6=0=>x=6`

Bảng xét dấu giá trị tuyệt đối:

\begin{array}{|c|ccc|} \hline x&&&2&&4&&6&&\\\hline |x-2|&&-(x-2)&\ 0&x-2&\vert&x-2&\vert&x-2&\\\hline |x-4|&&-(x-4)&\vert &-(x-4)&0&x-4&\vert&x-4& \\\hline |x-6|&&-(x-6)&\vert &-(x-6)&\vert&-(x-6)&0&x-6\\ \hline \end{array}

Từ bảng xét dấu ta có các trường hợp sau:

+) `TH1: x<2`

`(1)=>-(x-2)-(x-4)-(x-6)=4`

`=> -x+2-x+4-x+6=4`

`=>-(x+x+x)=4-2-4-6`

`=> -3x= -8`

`=>x=8/ 3` (loại)

$\\$

+) `TH2: 2\le x<4`

`(1)=>x-2-(x-4)-(x-6)=4`

`=>x-2-x+4-x+6=4`

`=>x-x-x=4+2-4-6`

`=>-x=-4`

`=>x=4` (loại)

$\\$

+) `TH3: 4\le x<6`

`(1)=>x-2+x-4-(x-6)=4`

`=>x-2+x-4-x+6=4`

`=> x+x-x=4+2+4-6`

`=> x=4` (thỏa mãn)

$\\$

+) `TH4: x\ge 6`

`(1)=>x-2+x-4+x-6=4`

`=> x+x+x=4+2+4+6`

`=>3x=16`

`=>x={16}/3` (loại)

Vậy `x=4` thỏa mãn đề bài

______

Cách khác:

Ta có:

`\qquad |x-2|+|x-6|``=|x-2|+|6-x|`

`\ge |x-2+6-x|` (bất đẳng thức giá trị tuyệt đối)

`\ge 4`

Dấu "=" xảy ra khi: `(x-2)(6-x)\ge 0`

`=>`$\left[\begin{array}{l}\begin{cases}x-2\ge 0\\6-x\ge 0\end{cases}\\\begin{cases}x-2\le 0\\6-x\le 0\end{cases}\end{array}\right.$`=>`$\left[\begin{array}{l}\begin{cases}x\ge 2\\6\ge x\end{cases}\\\begin{cases}x\le 2\\6 \le x\end{cases}\ (loại)\end{array}\right.$`=> 2\le x\le 6`

Suy ra:

`\qquad |x-2|+|x-6|+|x-4|\ge 4+|x-4|`

Vì `|x-4|\ge 0` với mọi `x`

`=>|x-2|+|x-4|+|x-6|\ge 4`

Dấu "=" xảy ra khi:

 $\begin{cases}2\le x\le 6\\|x-4|=0\end{cases}$`=>`$\begin{cases}2\le x\le 6\\x=4\ (thỏa mãn)\end{cases}$

Vậy `x=4` thỏa mãn đề bài