Cho tam giác `ABC` có `AB = AC`, `M` là trung điểm của `BC`. Trên tia đối của tia `MA` lấy điểm `D` sao cho `AM = MD`. `a)` Chứng minh ` ΔABM = ΔDCM.` `b)` Chứng minh `AB //// DC`. `c)` Chứng minh `AM ⊥ BC` `d)` Tìm điều kiện của `ΔABC` để góc `ADC` bằng `30^0`

a)

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta DCM$, ta có:

$MA=MD\left( gt \right)$

$MB=MC\left( gt \right)$

$\widehat{AMB}=\widehat{DMC}$ (hai góc đối đỉnh)

Nên $\Delta ABM=\Delta DCM\left( c.g.c \right)$

b)

Vì $\Delta ABM=\Delta DCM\left( cmt \right)$

Nên $\widehat{ABM}=\widehat{DCM}$

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

Do đó $AB//DC$

c)

Xét $\Delta AMB$ và $\Delta AMC$, ta có:

$AM$ là cạnh chung

$MB=MC\left( gt \right)$

$AB=AC\left( gt \right)$

Nên $\Delta AMB=\Delta AMC\left( c.c.c \right)$

Do đó $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$

Mà $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180{}^\circ $ (hai góc kề bù)

Nên $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\frac{180{}^\circ }{2}=90{}^\circ $

Hay nói cách khác, $AM\bot BC$ tại $M$

d)

Vì $\Delta ABM=\Delta DCM\left( cmt \right)$

Nên $\widehat{MAB}=\widehat{MDC}$

Hay $\widehat{MAB}=\widehat{ADC}$

Để $\widehat{ADC}=30{}^\circ $

Thì $\widehat{MAB}=30{}^\circ $

Khi đó trong $\Delta AMB$ vuông tại $M$

Ta có $\widehat{MAB}+\widehat{MBA}=90{}^\circ $

$\Rightarrow \widehat{MBA}=90{}^\circ -30{}^\circ =60{}^\circ $

Mà $\Delta ABC$ lại cân tại $A$

Nên $\Delta ABC$ trở thành tam giác đều

Vậy $\Delta ABC$ là tam giác đều thì $\widehat{ADC}=30{}^\circ $