Tìm tổng các hệ số trongkhai triển : (2X-Y)^13

Ta có

$(2x - y)^{13} = \sum_{k=0}^{13} C_{13}^k (2x)^k (-y)^{13-k}$

$= \sum_{k=0}^{13} C_{13}^k . 2^k . x^k . (-y)^{13-k}$

$=\sum_{k=0}^{13} C_{13}^k . 2^k . x^k . (-1)^{13-k} .y^{13-k}$

$= C_{13}^0 . 2^0 . x^0 . (-1)^{13-0} .y^{13-0} + C_{13}^1 . 2^1 . x^1 . (-1)^{13-1} . y^{13-1} + \cdots + C_{13}^{13} .2^{13} . x^{13} . (-1)^{13-13} . y^{13 - 13}$

Ta có tổng hệ số là

$C_{13}^0 . 2^0 . (-1)^{13-0} + C_{13}^1 . 2^1 . (-1)^{13-1} + \cdots + C_{13}^{13} .2^{13} . (-1)^{13-13}$

$= \sum_{n=0}^{13} C_{13}^k. 2^k . (-1)^{13-k}$

Ta thấy rằng tổng hệ số bằng với giá trị của $(2x-y)^{13}$ khi x = y = 1.

Vậy tổng hệ số là: $(2.1-1)^{13} = 1^{13} = 1$.

$(2x-y)^{13}$

$=\sum\limits_{k=0}^{13}(2x)^{13-k}.(-y)^k$

$=\sum\limits_{k=0}^{13}2^{13-k}.x^{13-k}.(-y)^k$

Tổng hệ số: $\sum\limits_{k=0}^{13}2^{13-k}=16383$