tìm tất cả giá trị của tham sô m để hàm số y =x^3-3m^2 +3(m^2-1)x-m^3+m có 2 cực trị x1,x2 thoả điều kiện x1^2+x2^2-x1x2=4

Đáp án:

$m =\pm 1$

Giải thích các bước giải:

$y = x^3 - 3x^2 + 3(m^2 -1)x - m^3 + m$

$y' = 3x^2 - 6x + 3(m^2 -1)$

+) Hàm số có 2 cực trị:

$\Delta_{y'}' > 0$

$\Leftrightarrow (3x)^2 - 9(m^2 -1) > 0$

$\Leftrightarrow 9> 0$ (luôn đúng)

$\Rightarrow $ Hàm số luôn có 2 cực trị

+) Hai điểm cực trị $x_1,x_2$ là nghiệm của $y' = 0$

Áp dụng định lý Vi-ét ta được:

$\begin{cases}x_1 + x_2 = 2\\x_1x_2 = m^2 -1\end{cases}$

Ta có:

$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 4$

$\Leftrightarrow (x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2 = 4$

$\Leftrightarrow 4 - 3(m^2 - 1) = 4$

$\Leftrightarrow m^2 - 1 = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = 1\\m = -1\end{array}\right.$