Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y=2x^3-(2-m)x+m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt Giúp em với ạ

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Để cho đồ thị của hàm số $: y = 2x³ - (2 - m)x + m$

cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì cần 2 điều kiện:

1) Phương trình $ y' = 6x² - 2 + m = 0 ⇔ 6x² = 2 - m (1)$

có 2 nghiệm pb $ ⇔ 2 - m > 0 ⇔ m < 2 $

2) Gọi $x_{1}; x_{2} $ là 2 nghiệm của $(1)$ thì $y(x_{1}).y(x_{2}) < 0$

$ 6x_{1}² = 2 - m ⇒ 6x_{1}³ = (2 - m)x_{1} $

$ ⇒ 3y(x_{1}) = 6x_{1}³ - 3(2 - m)x_{1} + 3m$

$ = (2 - m)x_{1} - 3(2 - m)x_{1} + 3m = 3m - 2(2 - m)x_{1}$

Tương tự :  $ ⇒ 3y(x_{2}) = 3m - 2(2 - m)x_{2}$

$ y(x_{1}).y(x_{2}) < 0 ⇔ (3m - 2(2 - m)x_{1})(3m - 2(2 - m)x_{2}) < 0$

$ ⇔ 9m² - 6m(2 - m)(x_{1} + x_{2}) + 4(2 - m)²x_{1}x_{2} < 0$

$ ⇔ 9m² + 4(2 - m)²\frac{2 - m}{6} < 0$

$ ⇔ 27m² + 2(2 - m)³ < 0$ không thỏa mãn vì từ $(1) ⇒ 2 - m > 0$

Vậy ko có m thỏa bài toán