Tìm số tự nhiên `n` để `1^n + 2^n + 3^n + 4^n` chia hết cho `5`.
1 câu trả lời
Đặt \(A=1^n+2^n+3^n+4^n\)
Nếu n=0 \(\Rightarrow A=4\)( loại )
Nếu n=1 \(\Rightarrow A=10\)( thỏa )
Nếu n>2 . TH1 : n chẵn \(\Rightarrow n=2k\left(k\in N\right)\) \(\Rightarrow A=1+2^{2k}+3^{2k}+4^{2k}=1+4^k+9^k+16^k\)
Với k lẻ => k=2m+1 \(\Rightarrow A=1+4^{2m+1}+9^{2m+1}+16^{2m+1}=1+16^m.4+81^m.9+256^m.16\) Dễ CM : \(A⋮̸5\) vì A chia 5 dư 1 .
TH2: $n$ lẻ =>$ n=2h+1$ \(\Rightarrow A=1+16^h.4+81^h.9+256^h.16\) TT như trên ; ta cũng CM được $A$ không chia hết cho $5$
Vậy $n=1$
