Cho tam giác ABC vuông tại A, có góc B = 60 độ và AB = 5cm. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Kẻ DE vuông góc với BC tại E. 1/ Chứng minh: Δ ABD = Δ EBD. 2/ Chứng minh: Δ ABE là tam giác đều. 3/ Chứng minh : Δ AEC là tam giác cân 4/ Tính độ dài cạnh AC.

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a)BD$ là phân giác $\widehat{ABC}$

$\Rightarrow \widehat{B_1}= \widehat{B_2}$

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta EBD$

$\widehat{BAD}=\widehat{BED}=90^\circ$

$BD: $ chung

$\widehat{B_2}= \widehat{B_1}$

$\Rightarrow \Delta ABD = \Delta EBD$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$b)\Delta ABD = \Delta EBD$

$\Rightarrow B               A=BE$

$\Delta ABE$ có $BA=BE$

$\Rightarrow \Delta ABE $ cân tại $B$

Mà $\widehat{ABE}=60^\circ$

$\Rightarrow \Delta ABE$ đều

$c)\Rightarrow \Delta ABE$ đều

$\Rightarrow \widehat{A_2}=60^\circ$

Ta có $\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=90^\circ$

$\Rightarrow \widehat{A_1}=90^\circ-\widehat{A_2}=90^\circ-60^\circ=30^\circ$

$\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\Rightarrow \widehat{ABC}+\widehat{C}=90^\circ\\ \Rightarrow \widehat{C}=90^\circ-\widehat{ABC}=90^\circ-60^\circ=30^\circ$

$\Delta AEC$ có $\widehat{A_1}=\widehat{C}=30^\circ$

$\Rightarrow \Delta AEC$ cân tại $E$

$d)\Delta AEC$ cân tại $E$

$\Rightarrow AE=EC(1)$

$\Delta ABE$ đều

$\Rightarrow AB=AE=BE(2)\\ (1)(2) EC=BE=AB= 5(cm)\\ BC=BE+EC=10(cm)$

$\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\Rightarrow AB^2+AC^2=BC^2\\ \Rightarrow AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}(cm).$