tìm số nguyên x, y thỏa mãn x^3+y^3=2xy+11

Đáp án:

`(x;y)\in {(-1;2); (2;-1)}`

Giải thích các bước giải:

 `\qquad x^3+y^3=2xy+11`

`<=>x^3+y^3+3x^2 y+3xy^2-(3x^2 y+3xy^2)-2xy-11=0`

`<=>(x+y)^3-3(x+y)xy-2xy-11=0\ (1)` 

Đặt `S=x+y; P=xy`

Vì `(x+y)^2-4xy=x^2+2xy+y^2-4xy`

`=(x-y)^2\ge 0` với mọi `x;y`

`=>S^2-4P\ge 0`

`(1)<=>S^3-3SP-2P-11=0`

`<=>S^3-11=P(3S+2)`

Vì `x;y\in ZZ=>S;P\in ZZ`

`=>S^3-11\in ZZ; 3S+2\in ZZ`

`=>S^3-11\ \vdots\ (3S+2)`

`=>27(S^3-11)\ \vdots\ (3S+2)`

`=>27S^3-297\ \vdots\ (3S+2)`

`=>(3S)^3+2^3-305\ \vdots\ (3S+2)`

`=>(3S+2)(9S^2-6S+4)-305\ \vdots\ (3S+2)`

Vì `(3S+2)(9S^2-6S+4) \ \vdots\ (3S+2)`

`=> 305\ \vdots\ (3S+2)`

`=>3S+2\in Ư(305)={-305;-61;-5;-1;1;5;61;305}`

`=>3S\in {-307;-63;-7;-3;-1;3;59;303}`

`=>S\in {-{307}/3;-21;-7/3;-1;-1/3;1;{59}/3;101}`

Vì `S\in ZZ=>S\in {-21;-1;1;101}`

Từ `S^3-11=P(3S+2)`

`=>P={S^3-11}/{3S+2}`

`=>(S;P)\in {(-21;152);(-1;12);(1;-2);(101;3378)}`

Kiểm tra các cặp giá trị của `S;P` với điều kiện  `S^2-4P\ge 0`

`=>S=1;P=-2` thỏa mãn 

`=>S=x+y=1`

`=>y=1-x`

`P=xy=-2`

`=>x.(1-x)=-2`

`=>x-x^2=-2`

`=>x^2-x-2=0`

`=>`$\left[\begin{array}{l}x=-1⇒y=1-x=2\\x=2⇒y=1-x=-1\end{array}\right.$

`=>` Cặp số nguyên `(x;y)` thỏa mãn đề bài là:

`(-1;2); (2;-1)`