Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình x^3+y^3=z^2 và x+y=z. Mong mọi người giúp mình sớm nhất có thể

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

$ x + y = z (1)$

$ x^{3} + y^{3} = z^{2}$

$ <=> (x + y)^{3} - 3xy(x + y) = z^{2}$

$ <=> z^{3} - z^{2} - 3xyz = 0$

$ <=> z^{2} - z - 3xy = 0 (2)$

$ <=> 4z^{2} - 4z = 3.(4xy) =< 3(x + y)^{2} = 3z^{2}$

$ <=> z^{2} - 4z =< 0$

$ <=> z^{2} - 4z + 4 =< 4$

$ <=> (z - 2)^{2} =< 4$

$ <=> 0 =< z - 2 =< 2$ (vì $ z = x + y >= 1 + 1 = 2)$

$ <=> 2 =< z =< 4 => z = 2; 3; 4$

- Với $ z = 2 => x = y = 1$ ko TM $(2)$

- Với $ z = 3$ thay vào $(2) => xy = 2$

$ => x = 1; 2; y = 2; 1 ( TM) $

- Với $ z = 4 $ thay vào $ (2) => xy = 4$

$ => x = 2; y = 2(TM)$

KL : PT có nghiệm nguyên dương là:

$ (x; y; z) = (1; 2; 3); (2; 1; 3); (2; 2; 4)$