Tìm nghiệm của phương trình sau: (√(7+4√3) )^x+(√(7-4√3) )^x=14.Giúp mình với :3

Đáp án:

$S = \left\{ { - 2;2} \right\}$

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

$\begin{array}{l}
{\left( {\sqrt {7 + 4\sqrt 3 } } \right)^x} + {\left( {\sqrt {7 - 4\sqrt 3 } } \right)^x} = 14\\
 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^2}} } \right)^x} + {\left( {\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} } \right)^x} = 14\\
 \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} + {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = 14\left( 1 \right)
\end{array}$

Đặt $t = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x}$

$ \Rightarrow \dfrac{1}{t} = \dfrac{1}{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^x}}} = {\left( {\dfrac{1}{{2 + \sqrt 3 }}} \right)^x} = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\left( 1 \right)tt:t + \dfrac{1}{t} = 14\\
 \Leftrightarrow {t^2} - 14t + 1 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 7 + 4\sqrt 3 \\
t = 7 - 4\sqrt 3 
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} = 7 + 4\sqrt 3 \\
{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} = 7 - 4\sqrt 3 
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = {\log _{2 + \sqrt 3 }}\left( {7 + 4\sqrt 3 } \right)\\
x = {\log _{2 + \sqrt 3 }}\left( {7 - 4\sqrt 3 } \right)
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x =  - 2
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ { - 2;2} \right\}$