Tìm min: `R=x^2+2y^2+2xy-2y`

Đáp án:

`R=x^(2)+2y^(2)+2xy-2y`

`=x^(2)+2xy+y^(2)+y^(2)-2y+1-1`

`=(x^(2)+2xy+y^2)+(y^(2)-2.y.1+1^2)-1`

`=(x+y)^(2)+(y-1)^(2)-1`

Ta có : `(x+y)^(2)+(y-1)^(2)-1≥ -1 ∀ x;y∈R`

Dấu `=` xảy ra :

$⇒\left\{\begin{matrix}x+y=0\\ y-1=0\end{matrix}\right.$

$⇒\left\{\begin{matrix}x+1=0\\ y=1\end{matrix}\right.$

$⇒\left\{\begin{matrix}x=-1\\ y=1\end{matrix}\right.$

Vậy R đạt GTNN là `-1` khi `x=-1;y=1`

Đáp án + Giải thích các bước giải:

 `R=x^2+2xy+2y^2-2y`

`R=(x^2+2xy+y^2)+(y^2-2y+1)-1`

`R=(x+y)^2 + (y-1)^2 -1`

Ta có : `(x+y)^2>=0∀x`

`(y-1)^2>=0∀x`

`=> (x+y)^2 + (y-1)^2 >= 0∀x`

`<=> (x+y)^2 + (y-1)^2 -1 >= -1 ∀x`

Dấu `=` xảy ra `<=> x+y=0`

và `y-1=0`

`<=> y=1`

Thay `y=1` vào `x+y=0`

`=> x+1=0`

`<=> x=-1`

Vậy `Min R = -1 <=> x=-1;y=1`

Áp dụng :

`+) A^2+2AB+B^2=(A+B)^2`

`+) A^2-2AB+B^2=(A-B)^2`