tìm `min B=x^2+3x+1/x (x>0)`

Đáp án + Giải thích các bước giải:

`B = x^2 + 3x + 1/x` `(x > 0)`

`<=> B = x^2 - x + 4x + 1/x + 1/4 - 1/4`

`<=> B = (x^2 - x + 1/4) - 1/4 + 4x + 1/x`

`<=> B = (x - 1/2)^2 - 1/4 + 4x + 1/x`

Ta chứng minh được bất đẳng thức sau:

`(\sqrt{a} -\sqrt{b})^2 \ge 0 \forall a, b`

`<=> a + b - 2\sqrt{ab} \ge 0`

`<=> a + b \ge 2\sqrt{ab}` (bất đẳng thức Côsi) 

Áp dụng bất đẳng thức trên vào hai số `4x` và `1/x` ta được:

`4x + 1/x \ge 2\sqrt{4} = 2. 2 = 4`

Dấu "=" xảy ra khi:

`4x + 1/x = 4`

`<=> \frac{4x^2}{x} + 1/x - {4x}/x = 0`

`<=> \frac{4x^2 - 4x + 1}{x} = 0`

`=> 4x^2 - 4x + 1 = 0`

`<=> (2x - 1)^2 = 0`

`<=> 2x - 1 = 0`

`<=> x = 1/2` (TMĐK) 

`<=> B = (1/2 - 1/2)^2 - 1/4 + 4. 1/2 + 1: 1/2`

`<=> B = 0 - 1/4 + 2 + 2`

`<=> B = 3,75`

Vậy $min_B = 3,75 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}$