Tìm m để \(y=\dfrac{mx+4}{x+m}\) giảm trên khoảng xác định

Đáp án:

\(m \in \left( { - 2;2} \right)\)

Giải thích các bước giải:

 Để hàm số giảm trên khoảng xác định

⇔ y'<0

\(\begin{array}{l}
 \to y' = \dfrac{{m\left( {x + m} \right) - mx - 4}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}} < 0\\
 \to \dfrac{{mx + {m^2} - mx - 4}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}} < 0\\
 \to \dfrac{{\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right)}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}} < 0\left( 1 \right)\\
Do:{\left( {x + m} \right)^2}\forall x \ne  - m\\
\left( 1 \right) \to \left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right) < 0\\
 \to m \in \left( { - 2;2} \right)
\end{array}\)

Đáp án: `m ∈ (-2; 2)`

Giải thích các bước giải:

`ĐK:` `x + m # 0`

`<=> x # m`

$\text{Ta có:}$ `y^'=((mx+4)/(x+m))^'=((mx+4)^'(x+m)-(mx+4)(x+m)^')/(x+m)^2=(m(x+m)-(mx+4))/(x+m)^2`

`=(mx+m^2-mx-4)/(x+m)^2=(m^2-4)/(x+m)^2`

$Cho$ `y^'=0`

$\text{Để hàm số giảm trên khoảng xác định thì}$  `y^'<0`

`<=> (m^2-4)/(x+m)^2 < 0`

$Do$ `(x+m)^2 > 0` với mọi x

`=> m^2-4 < 0`

`Cho` `m^2-4 = 0` `<=>m = +-2`

$\text{ Ta có bảng }$

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline m&\text{-∞               -2                              2               +∞}  \\\hline y'&\text{+       0              -               0        +}  \\\hline\end{array}$

`=> -2 < m < 2`

`Vậy` `m ∈ (-2; 2)`