Tìm m để y=1/3x^3-1/2mx^2-(2m-1)x+1/3 đồng biến trên (1;+vô cùng)

Đáp án:

$m \leq \dfrac23$

Giải thích các bước giải:

$y =\dfrac13x^3 - \dfrac12mx^2 - (2m-1)x +\dfrac13$

$y' = x^2 - mx - 2m +1$

Hàm số đồng biến trên $(1;+\infty)$

$\to y' \geq 0\quad \forall x \in (1;+\infty)$

$\to x^2 - mx - 2m + 1 \geq 0\quad \forall x \in (1;+\infty)$

$\to m \leq \dfrac{x^2 +1}{x +2}\quad \forall x \in (1;+\infty)$

$\to m \leq \mathop{\min}\limits_{x\in (1;+\infty)}\dfrac{x^2 +1}{x+2}$

Xét $f(x) = \dfrac{x^2 +1}{x+2}$

$f'(x) = \dfrac{x^2 + 4x -1}{(x+2)^2}$

$f'(x) = 0 \to \left[\begin{array}{l}x = -2-\sqrt5 \not\in (1;+\infty)\\x = -2 +\sqrt5 \not\in (1;+\infty)\end{array}\right.$

$\to f(x)$ đồng biến trên $(-2+\sqrt5;+\infty)$

$\to f(x)$ đồng biến trên $(1;+\infty)$

$\to \mathop{\min}\limits_{x\in (1;+\infty)}f(x) = f(1) = \dfrac23$

Vậy $m \leq \dfrac23$