Tìm m để phương trình 6^x+(3-m)2^x-m=0 có nghiệm thuộc khoảng (0;1)

Đáp án: $2<m<4$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$6^x+(3-m)2^x-m=0$

$\to 6^x+3\cdot 2^x-m\cdot 2^x-m=0$

$\to 6^x+3\cdot 2^x-m(\cdot 2^x+1)=0$

$\to 6^x+3\cdot 2^x=m(\cdot 2^x+1)$

$\to m=\dfrac{6^x+3\cdot 2^x}{2^x+1}$

Đặt

$f(x)=\dfrac{6^x+3\cdot 2^x}{2^x+1}$

$\to f(x)-2=\dfrac{6^x+3\cdot 2^x}{2^x+1}-2$

$\to f(x)-2=\dfrac{6^x+3\cdot 2^x-2(2^x+1)}{2^x+1}$

$\to f(x)-2=\dfrac{6^x+3\cdot 2^x-2\cdot 2^x-2}{2^x+1}$

$\to f(x)-2=\dfrac{6^x+\cdot 2^x-2}{2^x+1}$

Vì $x>0\to 6^x+2^x-2>6^0+2^0-2=0$

$\to \dfrac{6^x+\cdot 2^x-2}{2^x+1}>0$ vì $2^x+1>0$

$\to f(x)-2>0$

$\to f(x)>2(1)$

Ta có:

$f(x)-4=\dfrac{6^x+3\cdot 2^x}{2^x+1}-4$

$\to f(x)-4=\dfrac{6^x+3\cdot 2^x-4(2^x+1)}{2^x+1}$

$\to f(x)-4=\dfrac{6^x+3\cdot 2^x-4\cdot 2^x-4}{2^x+1}$

$\to f(x)-4=\dfrac{6^x- 2^x-4}{2^x+1}$

Do $0<x<1\to 6^x=(2\cdot 3)^x=2^x\cdot 3^x<2^x\cdot 3^1=3\cdot 2^x$

$\to 6^x- 2^x-4<3\cdot 2^x-2^x-4=2\cdot 2^x-4<2\cdot 2^1-4=0$

$\to \dfrac{6^x- 2^x-4}{2^x+1}<0$ vì $2^x+1>0$

$\to f(x)-4<0$

$\to f(x)<4(2)$

Từ $(1), (2)\to 2<f(x)<4$

$\to$Để phương trình có nghiệm $\to 2<m<4$

Tham khảo nhé !