Tìm m để phương trình 2sin^3x-5cos^2x -(2m-3)sinx=4m-7 có đúng 2 nghiệm âm phân biệt và một nghiệm dương thuộc khoảng (-π;π/2)

Đáp án:

Giải thích các bước giải: \[\begin{array}{l} 2{\sin ^3}x - 5{\cos ^2}x - (2m - 3)\sin x = 4m - 7\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^3}x + 5{\sin ^2}x - 5 - (2m - 3)\sin x - (4m - 7) = 0\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^3}x + 4{\sin ^2}x + {\sin ^2}x + 2\sin x - (2m - 1)\sin x - (4m - 2) = 0\\ \Leftrightarrow (\sin x + 2)(2{\sin ^2}x + \sin x - 2m - 1) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = - 2 \to vn\\ 2{\sin ^2}x + \sin x - 2m - 1 = 0(*) \end{array} \right.\\ \end{array}\] Đặt t=sinx=> (*) ⇔ $2t^{2}+t-2m-1=0$ Để có đúng 2 nghiệm âm phân biệt và một nghiệm dương thuộc khoảng (-π;π/2)=> Pt phải có 1 nghiệm t thuộc (-1;0) và 1 nghiệm t thuộc (0;1) \[\begin{array}{l} \Rightarrow - 1 < {t_1} < 0 < {t_2} < 1\\ \Delta = 1 - 4.2.( - 2m - 1) = 9 + 16m > 0 \Leftrightarrow m > \frac{{ - 9}}{{16}}\\ Vi - et:\left\{ \begin{array}{l} {t_1} + {t_2} = \frac{{ - 1}}{2}\\ {t_1}.{t_2} = - 2m - 1 \end{array} \right.\\ De: - 1 < {t_1} < 0 < {t_2} < 1\_thi\_\left\{ \begin{array}{l} m > \frac{{ - 9}}{{16}}\\ {t_1}.{t_2} < 0\\ ({t_1} - 1)({t_2} - 1) > 0\\ ({t_1} + 1)({t_2} + 1) > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > \frac{{ - 9}}{{16}}\\ - 2m - 1 < 0\\ {t_1}.{t_2} - ({t_1} + {t_2}) + 1 > 0\\ {t_1}.{t_2} + ({t_1} + {t_2}) + 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{2} < m < \frac{{ - 1}}{4} \end{array}\]