Tìm m để hs y=1/3mx³ - (m-1)x² + 3(m-2)x +1/3 đồng biến trên [2;+vô cùng)

Đáp án: $m\ge\dfrac23$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$y'=mx^2-2(m-1)x+3(m-2)$

Nếu $m=0\to y'=2x-6$ 

Vì $x\in[2,+\infty)\to x\ge 2\to 2x-6\ge 2\cdot 2-6=-4$

$\to$Hàm số không đồng biến trên khoảng $[2,+\infty)$

$\to m\ne 0$

$\to y'$ là hàm số bậc $2$ ẩn $x$

Để hàm số đồng biến trên $[2,+\infty)$

$\to mx^2-2(m-1)x+3(m-2)>0,\quad\forall x\in [2,+\infty)$

$\to mx^2-(2mx-2x)+3m-6>0$

$\to (mx^2-2mx+3m)+2x-6>0$

$\to m(x^2-2x+3)>-2x+6$

$\to m>\dfrac{-2x+6}{x^2-2x+3}$ vì $x^2-2x+3>0$

Xét hàm số $f(x)=\dfrac{-2x+6}{x^2-2x+3}$

$\to f'(x)=(\dfrac{-2x+6}{x^2-2x+3})'$

$\to f'(x)=\dfrac{2x^2-12x+6}{(x^2-2x+3)^2}$

$\to f'(x)=\dfrac{2(x^2-6x+9)-12}{(x^2-2x+3)^2}$

$\to f'(x)=\dfrac{2(x-3)^2-12}{(x^2-2x+3)^2}$

$\to$Lập bảng biến thiên

Vì $\lim_{x\to+\infty} f(x)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{-2x+6}{x^2-2x+3}=0$

$\to m\ge\dfrac23$