tìm m để hàm số y=-x^3 +(m-1)^2 +m -1 đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 3

Đáp án: $m = \dfrac{{11}}{2};m =  - \dfrac{7}{2}$

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}
y =  - {x^3} + \left( {m - 1} \right){x^2} + m - 1\\
 \Rightarrow y' =  - 3{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x = 0\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
 - 3x + 2\left( {m - 1} \right) = 0
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \dfrac{{2m - 2}}{3}
\end{array} \right.
\end{array}$ 

Vì a=-3<0 nên hàm số đồng biến trên khoảng giữa 2 nghiệm x => m #2

$\begin{array}{l}
 + TH1:\dfrac{{2m - 2}}{3} > 0 \Rightarrow m > 1\\
 \Rightarrow \dfrac{{2m - 2}}{3} - 0 = 3\\
 \Rightarrow 2m - 2 = 9\\
 \Rightarrow m = \dfrac{{11}}{2}\left( {tmdk} \right)\\
 + TH2:\dfrac{{2m - 2}}{3} < 0 \Rightarrow m < 1\\
 \Rightarrow 0 - \dfrac{{2m - 2}}{3} = 3\\
 \Rightarrow 2m - 2 =  - 9\\
 \Rightarrow m = \dfrac{{ - 7}}{2}\left( {tmdk} \right)\\
Vậy\,m = \dfrac{{11}}{2}\,hoặc\,m = \dfrac{{ - 7}}{2}
\end{array}$