Tìm m để hàm số y=x^3-3(m+1)x^2-mx+2 luôn đồng biến trên tập xác định của nó.

Đáp án: $\dfrac{-\sqrt{13}-7}{6}<m<\dfrac{\sqrt{13}-7}{6}$

Giải thích các bước giải:

Ta có hàm số $y=x^3-3(m+1)x^2-mx+2$ đồng biến trên $R$

Ta có:

$y'=3x^2-6(m+1)x-m$

$\to$Để hàm số luôn đồng biến trên tập xác định của nó:

$\to y'>0,\quad\forall x\in R$

$\to 3x^2-6(m+1)x-m>0,\quad\forall x\in R$

$\to \begin{cases}3>0\\ \Delta'=(-3(m+1))^2-3\cdot (-m)<0\end{cases}$

$\to (-3(m+1))^2-3\cdot (-m)<0$

$\to 9m^2+21m+9<0$

$\to 3m^2+7m+3<0$

$\to 3\left(m+\dfrac{7}{6}\right)^2-\dfrac{13}{12}<0$

$\to 3\left(m+\dfrac{7}{6}\right)^2<\dfrac{13}{12}$

$\to \left(m+\dfrac{7}{6}\right)^2<\dfrac{13}{36}$

$\to \dfrac{-\sqrt{13}-7}{6}<m<\dfrac{\sqrt{13}-7}{6}$