tìm m để hàm số y= 2/3 x^3 + (m+1)x^2 + (m^2 + 4m+3)x + m+2 đạt cực đại, cực tiểu tại x1,x2 thỏa mãn: P= I x1.x2 - 2(x1+x2) I đạt giá trị nhỏ nhất

Đáp án:

$\begin{array}{l}
y = \dfrac{2}{3}{x^3} + \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} + 4m + 3} \right)x + m + 2\\
 \Rightarrow y' = 2{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 4m + 3
\end{array}$

=> x1; x2 là nghiệm của pt y'=0

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \Delta ' > 0\\
 \Rightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - 2.\left( {{m^2} + 4m + 3} \right) > 0\\
 \Rightarrow {m^2} + 2m + 1 - 2{m^2} - 8m - 6 > 0\\
 \Rightarrow {m^2} + 6m + 5 < 0\\
 \Rightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {m + 5} \right) < 0\\
 \Rightarrow  - 5 < m <  - 1\\
Theo\,Viet:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} =  - m - 1\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{{{m^2} + 4m + 3}}{2}
\end{array} \right.\\
P = \left| {{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right)} \right|\\
 = \left| { - m - 1 - 2.\dfrac{{{m^2} + 4m + 3}}{2}} \right|\\
 = \left| { - m - 1 - {m^2} - 4m - 3} \right|\\
 = \left| { - {m^2} - 5m - 4} \right|\\
 = \left| {{m^2} + 5m + 4} \right|\\
 = \left| {{m^2} + 2.m.\dfrac{5}{2} + \dfrac{{25}}{4} - \dfrac{9}{4}} \right|\\
 = \left| {{{\left( {m + \dfrac{5}{2}} \right)}^2} - \dfrac{9}{4}} \right|\\
Do:{\left( {m + \dfrac{5}{2}} \right)^2} - \dfrac{9}{4} \ge  - \dfrac{9}{4}\\
 \Rightarrow \left| {{{\left( {m + \dfrac{5}{2}} \right)}^2} - \dfrac{9}{4}} \right| \ge 0\\
 \Rightarrow {\mathop{\rm minP}\nolimits}  = 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {m + \dfrac{5}{2}} \right)^2} = \dfrac{9}{4}\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
m + \dfrac{5}{2} = \dfrac{3}{2}\\
m + \dfrac{5}{2} =  - \dfrac{3}{2}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
m =  - 1\left( {ktm} \right)\\
m =  - 4\left( {tm} \right)
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy m=-4

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

$y = \frac{2}{3}x³ + (m + 1)x² + (m² + 4m + 3)x + m + 2$ 

$y' = 2x² + 2(m + 1)x + m² + 4m + 3$  

Để hàm số đạt cực tiểu tại $x_{1}; x_{2}$ 

$ ⇔ PT : y' = 0$  phải có 2 nghiệm pb $x_{1}; x_{2}$

$Δ' = (m + 1)² - 2(m² + 4m + 3) = - (m² + 6m + 5) $

$ = - (m + 1)(m + 5) > 0 ⇔ - 5 < m < -1$

Theo Viet:

$ x_{1} + x_{2} = - (m + 1)$

$ x_{1}x_{2} = \frac{1}{2}(m² + 4m + 3)$

Vì $ - 5 < m < - 1 ⇔ - 1 < m + 4 < 3 ⇒ 0 ≤ (m + 4)² < 9$

$P = |x_{1}x_{2} - 2(x_{1} + x_{2})| = | \frac{1}{2}(m² + 4m + 3) + 2(m + 1)|$

$ = \frac{1}{2}|m² + 8m + 7| = \frac{1}{2}|(m + 4)² - 9| ≤ \frac{9}{2}$

Vậy $GTLN$ của $P = \frac{9}{2}$ khi $ m + 4 = 0 ⇔ m = - 4 (TM)$