tìm m để hàm số y=-1/3x³+(m-1)x²+(m+3)x-10 đồng biến trên khoảng (0;3)

Đáp án:

`m≥12/7`

Giải thích các bước giải:

Hàm số đã cho xác định trên $(0;3)$

$y'=-x^2+2(m-1)x+m+3$

Hàm số đồng biến trên $(0;3)$

   ` ⇔ y'≥0` `∀x∈(0;3)`

   `⇔  -x^2+2(m-1)x+m+3` `∀x∈(0;3)`  `(1)`

Do hàm số liên tục tại `x=0,x=3` nên `(1)``⇔ y'≥0` `∀x∈[0;3]`

`⇔ -x^2+2mx-2x+m+3≥0` `∀x∈[0;3]`

`⇔ m(2x+1)≥x^2+2x-3` `∀x∈[0;3]` `(2x+1>0)`

`⇔ m≥(x^2+2x-3)/(2x+1)=g(x)` `∀x∈[0;3]`

`⇔ m ≥\max_{[0;3]} g(x)`

Xét hàm số `g(x)=(x^2+2x-3)/(2x+1)` `,∀x∈[0;3]`

`g'(x)=(2x^2+2x+8)/(2x+1)^2>0` `,∀x∈[0;3]`

 Yêu cầu bài toán `⇔ m≥12/7`

Kết luận: `m≥12/7`

Bảng biến thiên: