Tìm Gtnn và gtln của hàm số y= cos2x + sinx

Đáp án:

\(\max y = \dfrac{9}{8}\text{ khi }\sin x = \dfrac{1}{4}\)

Giải thích các bước giải:

$y=\cos2x+\sin x\\= 1 - 2{\sin ^2}x + \sin x$

Đặt $\sin x =t$ $( - 1 \le t \le 1)$

Phương trình tương đương:

$y = - 2{t^2} + t + 1$

$y' = - 4t + 1 = 0 \Rightarrow t = \dfrac14  $

Từ bảng biến thiên `=>` $\max=\dfrac98$ khi $\sin x=\dfrac14$

Đáp án:

\(\max y = \dfrac{9}{8}\text{ khi }\sin x = \dfrac{1}{4}\)

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l} y = \cos 2x + \sin x = 1 - 2{\sin ^2}x + \sin x\\ = - 2{\sin ^2}x + \sin x + 1\\ = - 2\left( {{{\sin }^2}x - \dfrac{1}{2}\sin x} \right) + 1\\ = - 2\left( {{{\sin }^2}x - 2.\dfrac{1}{4}\sin x + \dfrac{1}{{16}}} \right) + \dfrac{1}{8} + 1\\ = - 2{\left( {\sin x - \dfrac{1}{4}} \right)^2} + \dfrac{9}{8} \le \dfrac{9}{8}\\ \text{Dấu "=" xảy ra }\Leftrightarrow \sin x = \dfrac{1}{4}.\\ \text{Vậy }\max y = \dfrac{9}{8}\text{ khi }\sin x = \dfrac{1}{4}. \end{array}\)