Tìm GTNN của: $\frac{x+\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+1}$ Giúp mình với ạ!

Đáp án: $GTNN:M = 3\,khi\,x = 1$

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}
Dkxd:x \ge 0\\
M = \dfrac{{x + \sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  + 1}}\\
 = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right) + 4}}{{\sqrt x  + 1}}\\
 = \sqrt x  + \dfrac{4}{{\sqrt x  + 1}}\\
 = \sqrt x  + 1 + \dfrac{4}{{\sqrt x  + 1}} - 1\\
Do:\sqrt x  + 1 > 0\\
Theo\,Co - si:\\
\sqrt x  + 1 + \dfrac{4}{{\sqrt x  + 1}} \ge 2\sqrt {\left( {\sqrt x  + 1} \right).\dfrac{4}{{\sqrt x  + 1}}}  = 4\\
 \Leftrightarrow \sqrt x  + 1 + \dfrac{4}{{\sqrt x  + 1}} - 1 \ge 4 - 1\\
 \Leftrightarrow M \ge 3\\
 \Leftrightarrow GTNN:M = 3\\
Khi:\sqrt x  + 1 = \dfrac{4}{{\sqrt x  + 1}}\\
 \Leftrightarrow \sqrt x  + 1 = 2\\
 \Leftrightarrow \sqrt x  = 1\\
 \Leftrightarrow x = 1\left( {tm} \right)
\end{array}$