Tìm GTLN, GTNN của hàm số: f/ f(x) = 2sinx + sin2x trên đoạn [0; $\frac{3π}{2}$]

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

$ f(x) = 2sinx + sin2x $

$ ⇒ f'(x) = 2cosx + 2cos2x = 4cos²x + 2cosx - 2 = 2(cosx + 1)(2cosx - 1)$

$ f'(x) < 0 ⇔ 2cosx - 1 < 0 ⇔ cosx < \frac{1}{2} ⇔ \frac{π}{3} < x < π; π < x < \frac{3π}{2}$ 

$ f'(x) = 0 ⇔ 2cosx - 1 = 0 ⇔ cosx = \frac{1}{2} ⇔ x = \frac{π}{3}; cosx = - 1 ⇔ x = π$ 

$ f'(x) > 0 ⇔ 2cosx - 1 > 0 ⇔ cosx > \frac{1}{2} ⇔ 0 < x < \frac{π}{3}$ 

$ ⇒ f(x) $ đạt cực đại tại $cosx = \frac{1}{2} ⇔  x = \frac{π}{3}$

$ Maxf(x) = 2sin\frac{π}{3} + sin\frac{2π}{3} = 2\frac{\sqrt[]{3}}{2} + \frac{\sqrt[]{3}}{2} = \frac{3\sqrt[]{3}}{2} (1)$ 

Hàm số không có cực tiểu trên $[0; \frac{3π}{2}]$

Mặt khác $ f(0) = 0 (2); f(\frac{3π}{2}) = - 2 (3)$

So sánh $(1); (2); (3)$ trên đoạn $[0; \frac{3π}{2}]$ ta có :

$GTLN$ của $f(x) = Maxf(x) = \frac{3\sqrt[]{3}}{2} ⇔ x = \frac{π}{3}$

$GTNN$ của $f(x) = f(\frac{3π}{2}) = - 2 (3)$