Tìm GTLN của biểu thức: `P=\sqrt{x+2}-\sqrt{x-7}`

Đáp án + giải thích các bước giải:

`x>=7`

Dễ thấy `\sqrt{x+2}>\sqrt{x-7}`

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức `\sqrt{a}-\sqrt{b}<=\sqrt{a-b} (a>=b>=0)`

`->a-\sqrt{2ab}+b<=a-b`

`->2b-2\sqrt{ab}<=0`

`->\sqrt{b}(\sqrt{b}-\sqrt{a})<=0 `

Điều này luôn đúng vì `\sqrt{b}>=0;a>=b>=0->\sqrt{b}-\sqrt{a}<=0`

Dấu bằng xảy ra khi `b=0` hoặc `a=b`

Áp dụng vào bài, có:

`P=\sqrt{x+2}-\sqrt{x-7}<=\sqrt{x+2-(x-7)}=\sqrt{9}=3`

Dấu bằng xảy ra khi \(\left[ \begin{array}{l}\sqrt{x-7}=0\\\sqrt{x+2}=\sqrt{x-7}\end{array} \right.\\\to x=7(TM)\) 

Đáp án:

Giải thích các bước giải: Tham khảo 

ĐKXĐ $ : x >= 7$. Ta có :

$ \sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 7} >= \sqrt{7 + 2} + \sqrt{7 - 7} = 3$

$ P = \sqrt{x + 2} - \sqrt{x - 7} = \dfrac{(x + 2) - (x - 7)}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 7}}$

$ = \dfrac{9}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 7}} =< \dfrac{9}{3} = 3$

$ => GTLN$ của $P = 3 <=> x = 7$