Tìm gtln của biểu thức `A = \sqrt{8x^2 + 14xy+3y^2} + \sqrt{8y^2 + 14yz+3z^2} + \sqrt{8z^2 + 14xz+3x^2}` biết `x^2 + y^2 + z^2 = 3` và `x; y; z` dương
1 câu trả lời
Đáp án:
`\text{Max}_A = 15 <=>x = y = z = 1`
Giải thích các bước giải:
Ta thấy :
`\sqrt{8x^2 + 14xy + 3y^2} = \sqrt{ (3x+2y)^2 - (x-y)^2} \le \sqrt{(3x-2y)^2} `
(do ` (x-y)^2 \ge 0 \forall x ; y`)
`=> \sqrt{8x^2 + 14xy + 3y^2} \le |3x+2y| = 3x +2y` (do `x ;y` là các số thực dương) `(1)`
Chứng minh tương tự ta có :
`\sqrt{8y^2 + 14yz + 3z^2} \le 3y + 2z (2)`
`\sqrt{8z^2 + 14xz + 3x^2} \le 3z+2x (3)`
Cộng các vế tương ứng của `(1) ; (2) ; (3)` ta có :
`\sqrt{8x^2 + 14xy + 3y^2} + \sqrt{8y^2 + 14yz + 3z^2} + \sqrt{8z^2 + 14xz + 3x^2} \le 3x + 2y + 3y + 2z + 3z + 2x`
`=> A \le 5x + 5y + 5z`
`=> A \le 5 (x+y+z) (**1)`
Vì `x;y;z` là các số dương nên áp dụng bất đẳng thức BCS ta có :
`(1.x+1.y+1.z)^2 \le (1^2+1^2+1^2) . (x^2+y^2+z^2)`
`=> (x+y+z)^2 \le 3 (x^2 + y^2+z^2)`
Mà `x^2+y^2+z^2=3` nên ta có :
`(x+y+z)^2 \le 3 . 3`
`=> (x+y+z)^2 \le 9`
`=> x+y+z \le 3 (**2)`
Từ `(**1)` và `(**2)` ta có : `A \le 5.3`
`=>A \le 15`
Dấu `=` xảy ra `<=> x=y=z=1`
Vậy `\text{Max}_A = 15 <=>x = y = z = 1`