tìm giá trị nhỏ nhất của P=x/ căn x +2

Có P= $\dfrac{x}{\sqrt{x}+2}$=$\dfrac{x-4+4}{\sqrt{x}+2}$=$\dfrac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)+4}{\sqrt{x}+2}$= $\sqrt{x}-2$ + $\dfrac{4}{\sqrt{x}+2}$= $\sqrt{x}+2$ + $\dfrac{4}{\sqrt{x}+2}-4 $$\\$ áp dụng bất đẳng thức cosi ta có:$\\$ $\sqrt{x}+2$ + $\dfrac{4}{\sqrt{x}+2}-4$ $\geq$ `2`.$\sqrt{\sqrt{x}+2.\dfrac{4}{\sqrt{x}+2}}$ `-` `4` `=` `0` $\\$ Min P = 0 khi $\sqrt{x}+2$ = $\dfrac{4}{\sqrt{x}+2}$ $\Leftrightarrow$ `x=0`

$\text{ Bạn tham khảo nhé! }$

` P = \frac{x}{\sqrt{x} + 2} `

` ⇔ P = \frac{x - 4 + 4}{\sqrt{x} + 2} `

` ⇔ P = \frac{(\sqrt{x} - 2). (\sqrt{x} + 2) + 4}{\sqrt{x} + 2} `

` ⇔ P = \frac{(\sqrt{x} - 2). (\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x} + 2} + \frac{4}{\sqrt{x} + 2} `

` ⇔ P = (\sqrt{x} - 2) + \frac{4}{\sqrt{x} + 2} ` 

` ⇔ P = (\sqrt{x} + 2 - 4) + \frac{4}{\sqrt{x} + 2} `

$\text{ Ta chứng minh được bất đẳng thức sau: }$

` (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0 `

` ⇔ a + b - 2\sqrt{ab} \ge 0 `

` ⇔ a + b \ge 2\sqrt{ab} `

$\text{ Áp dụng bất đẳng thức trên vào biểu thức P ta được: }$

` (\sqrt{x} + 2 ) + \frac{4}{\sqrt{x} + 2} - 4 \ge 2. \sqrt{(\sqrt{x} + 2). \frac{4}{\sqrt{x} + 2}} - 4 `

` ⇔ \sqrt{x} - 2 + \frac{4}{\sqrt{x} + 2} \ge 2. 2 - 4 `

` ⇔ \sqrt{x} - 2 + \frac{4}{\sqrt{x} + 2} \ge 0 `

$\text{ Dấu bằng xảy ra khi: }$

` \sqrt{x} - 2 + \frac{4}{\sqrt{x} + 2} = 0 `

` ⇔ \frac{x - 4}{\sqrt{x} + 2} + \frac{4}{\sqrt{x} + 2} = 0 `

` ⇔ \frac{x}{\sqrt{x} + 2} = 0 `

` ⇔ x = 0 `

$\text{ Vậy }$ $ min_P = 0 ⇔ x = 0 $