Tìm giá trị nhỏ nhất của M= x+3/ √x -1

`#tnvt`

`M=\frac{x+3}{\sqrt{x}-1}(x>=0,x\ne1)`

`=\frac{x-1+4}{\sqrt{x}-1}`

`=\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)+4}{\sqrt{x}-1}`

`=\sqrt{x}+1+\frac{4}{\sqrt{x}-1}`

`=\sqrt{x}-1+\frac{4}{\sqrt{x}-1}+2`

Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:

`(\sqrt{x}-1)+\frac{4}{\sqrt{x}-1}>=2\sqrt{(\sqrt{x}-1).\frac{4}{\sqrt{x}-1}}=2\sqrt{4}=4`

`=>\sqrt{x}-1+\frac{4}{\sqrt{x}-1}+2>=4+2=6`

Dấu `=` xảy ra khi `\sqrt{x}-1=\frac{4}{\sqrt{x}-1}`

`<=>(\sqrt{x}-1)^2=4`

`<=>\sqrt{x}-1=2(\sqrt{x}-1>=-1)`

`<=>\sqrt{x}=3`

`<=>x=9(tm)`

Vậy `GTNNNN_M=6` khi `x=9`