tìm giá trị nhỏ nhất của B=|2012-x|+|2013-x|

`B=|2012-x|+|2013-x|=|x-2012|+|2013-x|`

Áp dụng BĐT `|a|+|b|>= |a+b|` ta được :

`B>= |x-2012+2013-x|=1`

Dấu "`=`" xảy ra khi :

`(x-2012)(2013-x)>=0`

TH1 : `x-2012>=0, 2013-x>=0`

`<=> x>= 2012, x\le 2013`

`<=>2012\le x\le 2013` (Luôn đúng)

TH2 : `x-2012\le 0, 2013-x\le 0`

`<=>x\le 2012, x>= 2013`

`<=>2013\le x\le 2012` (Vô lí)

Vậy `min B=1<=>2012\le x\le 2013`

Answer

\(\begin{array}{l}
\text{Ta có:}\\
B = |2012 - x| + |2013 - x| \\
B = |- (2012 - x)| + |2013 - x| \\
B = |x - 2012| + |2013 - x| \\
\text{Áp dụng BĐT:} \ |a| + |b| \geqslant |a + b| \ \text{ta có:}\\
|x - 2012| + |2013 - x| \geqslant |(x - 2012) + (2013 - x)|\\
\Rightarrow|x - 2012| + |2013 - x| \geqslant |x - 2012 + 2013 - x|\\
\Rightarrow|x - 2012| + |2013 - x| \geqslant |(x - x) + (2013 - 2012)|\\
\Rightarrow|x - 2012| + |2013 - x| \geqslant |1|\\
\Rightarrow|x - 2012| + |2013 - x| \geqslant 1\\
\Rightarrow B \geqslant 1\\
\text{Dấu} \ "=" \ \text{xảy ra}\\
\Leftrightarrow (x - 2012) . (2013 - x) \geqslant 0\\
\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \begin{cases} x - 2012 \geqslant 0\\2013 - x \geqslant 0 \end{cases}\\ \begin{cases} x - 2012 \leqslant 0\\2013 - x \leqslant 0 \end{cases}\end{matrix}\right.\\
\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \begin{cases} x \geqslant 0 + 2012\\x \leqslant 2013 - 0 \end{cases}\\ \begin{cases} x \leqslant 0 + 2012\\x \geqslant 2013 - 0 \end{cases}\end{matrix}\right.\\
\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \begin{cases} x \geqslant 2012\\x \leqslant 2013\end{cases}\\ \begin{cases} x \leqslant 2012\\x \geqslant 2013 \end{cases}\end{matrix}\right.\\
\Rightarrow 2012 \leqslant x \leqslant 2013\\
\text{Vậy} \ B_{min} \Leftrightarrow 2012 \leqslant x \leqslant 2013\\
\end{array}\)