TÌm giá trị nhỏ nhất của $A=log_a(2b)+log_b(2a)+log_2(ab)$

`ĐK: a, b > 0`

`A = log_{a} (2b) + log_{b} (2a) + log_{2} (ab)`

`= log_{a} 2 + log_{a} b + log_{b} 2 + log_{b} a + log_{2} a + log_{2} b`

`= (log_{a} 2 + log_{2} a) + (log_{a} b + log_{b} a) + (log_{b} 2 + log_{2} b)`

`= log_{a} 2 + 1/(log_{a} 2) + log_{a} b + 1/(log_{a} b) + log_{b} 2 + 1/(log_{b} 2)`

Áp dụng Cauchy, ta có:

`A >= 2sqrt{(log_{a} 2)/(log_{a} 2)} + 2sqrt{(log_{a} b)/(log_{a} b)} + 2sqrt{(log_{b} 2)/(log_{b} 2)}`

`= 2 + 2 + 2 = 6`

Dấu "=" xảy ra

\(\left\{ \begin{array}{l}log_{2} a = \dfrac{1}{log_{2} a}\\log_{a} b = \dfrac{1}{log_{a} b}\\log_{2} b = \dfrac{1}{log_{2} b}\end{array} \right.\) 

`->` \(\left\{ \begin{array}{l}log_{2} a = 1\\log_{2} b = 1\\log_{a} b = 1\end{array} \right.\) 

`-> a = b = 2`

Vậy ... 

Đáp án:

$\min A = 6 \Leftrightarrow a = b= 2$

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}A = \log_a(2b)+\log_b(2a) + \log_2(ab)\qquad (a;\, b >0)\\ \to A = \log_a2 + \log_ab + \log_b2 + \log_ba + \log_2a + \log_2b\\ \to A = \log_2a + \dfrac{1}{\log_2a} + \log_2b + \dfrac{1}{\log_2b}+ \log_ab + \dfrac{1}{\log_ab}\\ \to A \geq 2\sqrt{\log_2a\cdot\dfrac{1}{\log_2a}} + 2\sqrt{\log_2b\cdot\dfrac{1}{\log_2b}} + 2\sqrt{\log_ab\cdot\dfrac{1}{\log_ab}}\\ \to A \geq 2 +2+2 = 6\\ \text{Dấu = xảy ra}\,\,\Leftrightarrow \begin{cases}\log_2a = \dfrac{1}{\log_2a}\\ \log_2b = \dfrac{1}{\log_2b}\\\log_ab =\dfrac{1}{\log_ab}\\\log_2a;\,\log_2b;\,\log_ab >0\\\dfrac{1}{\log_2a};\,\dfrac{1}{\log_2b};\dfrac{1}{\log_ab}>0\end{cases}\\ \Leftrightarrow \begin{cases}\log_2a = 1\\\log_2b = 1\\\log_ab = 1\end{cases}\\ \Leftrightarrow \begin{cases}a = 2\\b = 2\\a = b\end{cases}\\ \Leftrightarrow a = b= 2\\ Vậy\,\,\min A = 6 \Leftrightarrow a = b= 2 \end{array}$