tìm giá trị của m để hệ phương trình : $\left \{ {{(m+1)x-y=m+1} \atop {x+(m-1)y=2}} \right.$ có nghiệm duy nhất x+y nhỏ nhất

Đáp án + giải thích các bước giải:

$\begin{cases}(m+1)x-y=m+1(1)\\x+(m-1)y=2(2)\end{cases}$

Từ `(2)->x=2-(m-1)y(3)`

Thế `(3)` vào `(1)`, có:

`(m+1)[2-(m-1)y]-y=m+1`

`->2(m+1)-(m-1)(m+1)y-y=m+1`

`->2m+2-(m^2-1)y-y=m+1`

`->m+1=(m^2-1)y+y`

`->m^2y=m+1(4)`

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi `(4)` có nghiệm duy nhất:

`->m^2\ne0`

`->m\ne0`

Khi đó:

`y=(m+1)/m^2`

`x=2-(m-1)y=2-(m-1) (m+1)/m^2=(2m^2-(m-1)(m+1))/m^2=(2m^2-m^2+1)/(m^2)=(m^2+1)/m^2`

`->x+y=(m+1)/m^2+(m^2+1)/m^2=(m^2+m+2)/m^2=1+1/m+2/m^2`

Đặt `1/m=a`

`->x+y=1+a+2a^2=1/2(a^2+1/2a+1/2)=1/2(a^2+2.a. 1/4+1/16+7/16)=1/2(a+1/4)^2+7/32>=7/32`

Dấu bằng xảy ra khi `(a+1/4)^2=0`

`->a=-1/4`

`->1/m=-1/4`

`->m=-4(TM)`