Tìm điểm dừng của hàm nhiều biến vd: tìm điểm dừng của hàm số f(x,y) =1/3x^3+xy^2+4xy

Đáp án:

$M_1\left(0;-2-\sqrt{14}\right);\ M_2\left(0;-2+\sqrt{14}\right);\ M_3\left(-\sqrt{14};-2\right);\ M_4\left(\sqrt{14};-2\right)$

Giải thích các bước giải:

$\quad f(x,y)= \dfrac13x^3 + xy^2 + 4xy$

Toạ độ điểm dừng là nghiệm của hệ phương trình:

$\quad \begin{cases}f_x'= 0\\f_y'= 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}x^2 + y^2 + 4y = 0\\2xy + 4x = 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\begin{cases}x = 0\\y = -2-\sqrt{14}\end{cases}\\\begin{cases}x = 0\\y = -2+\sqrt{14}\end{cases}\\\begin{cases}x = -\sqrt{14}\\y = -2\end{cases}\\\begin{cases}x = \sqrt{14}\\y = -2\end{cases}\end{array}\right.$

Vậy $f(x,y)$ có $4$ điểm dừng $M_1\left(0;-2-\sqrt{14}\right);\ M_2\left(0;-2+\sqrt{14}\right);\ M_3\left(-\sqrt{14};-2\right);\ M_4\left(\sqrt{14};-2\right)$