Tìm cực trị của hàm số F(x, y) =x³+2y³-3x-6y

Đáp án:

$\begin{cases}\min F = -6\quad tại\quad M(1;1)\\\max F = 6\quad tại\quad M(-1;-1)\end{cases}$

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}F(x,y) = Z = x^3 + 2y^3 - 3x - 6y\\ \to \begin{cases}Z_x' = 3x^2 - 3 = 0\\Z_y' = 6y^2 - 6 = 0\end{cases}\\ \to \begin{cases}x = \pm 1\\y = \pm 1\end{cases}\\ \to \text{4 điểm dừng: }M_1(-1;1),\, M_2(-1;-1), \, M(1;1),\,M_4(1;-1)\\ \text{Ta có:}\\ \quad \begin{cases}A = Z_{xx}'' = 6x\\B = Z_{xy}''=0\\C = Z_{yy}''=12y\end{cases}\\ \text{Tại $M_1(-1;1)$ ta được:}\\ \quad \begin{cases}A_1 = 6.(-1) = -6\\B_1 = 0\\C_1 = 12.1 = 12 \end{cases}\\ \to B_1^2 - A_1C_1 = 72 >0\\ \to \text{Hàm số không đạt cực trị tại $M_1(-1;1)$}\\ \text{Tại $M_2(-1;-1)$ ta được:}\\ \quad \begin{cases}A_2 = 6.(-1) = -6\\B_2 = 0\\C_2 = 12.(-1) = -12 \end{cases}\\ \to B_2^2 - A_2C_2 = -72 <0\\ \text{Ta lại có:}\\ A_2 = - 6 < 0\\ \to \text{Hàm số đạt cực đại tại $M_2(-1;-1)$}\\ \to \max F = F(-1;-1) = 6\\ \text{Tại $M_3(1;1)$ ta được:}\\ \quad \begin{cases}A_3 = 6.1 = 6\\B_3 = 0\\C_3 = 12.3 = 12 \end{cases}\\ \to B_3^2 - A_3C_3 = -72 <0\\ \text{Ta lại có:}\\ A_2 = 6 > 0\\ \to \text{Hàm số đạt cực tiểu tại $M_3(1;1)$}\\ \to \min F = F(1;1) = -6\\ \text{Tại $M_4(1;-1)$ ta được:}\\ \quad \begin{cases}A_4 = 6.1 = 6\\B_4 = 0\\C_4 = 12.(-1) = -12 \end{cases}\\ \to B_4^2 - A_4C_4 = 72 >0\\ \to \text{Hàm số không đạt cực trị tại $M_4(1;-1)$}\\ \end{array}$