Tìm cực trị của hàm F(x,y)= X×Y+1/X +1/Y giải theo cách tự luận giúp e với ạ

Đáp án:

$f_{\min}= 3 \Leftrightarrow (x;y)= (1;1)$

Giải thích các bước giải:

$\quad f(x,y)= xy + \dfrac1x +\dfrac1y$

Toạ độ điểm dừng là nghiệm của hệ phương trình:

$\quad \begin{cases}f_x'=0\\f_y' = 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}y - \dfrac{1}{x^2}= 0\\x - \dfrac{1}{y^2}= 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow x = y = 1$

$\Rightarrow M(1;1)$ là điểm dừng của hàm số

Đặt $\begin{cases}A = f_{xx}' = \dfrac{2}{x^3}\\B = f_{xy}' = 1\\C = f_{yy}' = \dfrac{2}{y^3}\end{cases}$

Tại điểm dừng $M(1;1)$ ta có:

$\begin{cases}A = 2 >0\\B = 1\\C = 1\end{cases}\Rightarrow B^2 - AC = -3 < 0$

$\Rightarrow$ Hàm số đạt cực tiểu tại $M(1;1);\ f_{\min}= 3$

Vậy $f_{\min}= 3 \Leftrightarrow (x;y)= (1;1)$