Tìm các số tự nhiên trong khoảng từ 1000 đến 2000. biết rằng số đó chia cho 7 và 5 đều dư 4 ma chia 9 dư 2.

Đáp án:

$a\in\{1019,1334,1649,1964\}$

Giải thích các bước giải:

Gọ số tự nhiên cần tìm là $a$ $(a\in\mathbb N)$

Ta có:

$a-4 \,\vdots\, 7\Rightarrow a-4-7 \,\vdots\, 7\Rightarrow a-11 \,\vdots\, 7$

$a-2 \,\vdots\, 9\Rightarrow a-2-9 \,\vdots\, 7\Rightarrow a-11 \,\vdots\, 9$

$\Rightarrow a-11\in BC(7,9)$

mà phân tích thành thừa số nguyên tố $7=7$; $9=3^2$

$\Rightarrow BCNN(7,9)=7.3^2=63$

$\Rightarrow a-11\in BC(7,9)=B(63)$

$\Rightarrow a=63.b+11$ ($b\in N^*$)

mà ta có: $63.b+11-4 \,\vdots\, 5$

$\Rightarrow 63.b+7 \,\vdots\, 5$

$\Rightarrow 63.b$ phải có tận cùng là $3$ hoặc $8$

$\Rightarrow b$ phải có tận cùng là $1$ hoặc $6$

$\Rightarrow b=1,11,21,31,41,.... $ hoặc $b=6,16,26,36,....$

$\Rightarrow a=63.b+11=74,704,1334,1964,2594,....$

hoặc $a=63.b+11=389,1019,1649,2279,...$

mà $1000<a<2000$

$\Rightarrow a=1019,1334,1649,1964$

Vậy $a\in\{1019,1334,1649,1964\}$.