Tìm các số thực x,y thỏa mãn điều kiện $2(x\sqrt[]{y-4}+$ $y\sqrt[]{x-4})=xy$ Lưu ý: ko chép mạng, hiểu sao giải nấy, giải chi tiết và kỹ xíu giùm vì tui ngu toán, có gì tui cần hỏi thì nhớ tl

Đáp án:

`x=8` , `y=8` 

Giải thích các bước giải:

Có : `2(x\sqrt[y-4]+y\sqrt[x-4])=xy` `(1)`

Đặt `a=\sqrt[x-4]` , `b=\sqrt[y-4]` `(a,b≥0)`

`(1)⇔2[(a^2+4)b+(b^2+4)a]=(a^2+4)(b^2+4)`

`⇔` `{2[(a^2+4)b+(b^2+4)a]}/{(a^2+4)(b^2+4)}=1`

`⇔` `{2[(a^2+4)b]}/{(a^2+4)(b^2+4)}+{2[(b^2+4)a]}/{(a^2+4)(b^2+4)}=1`

`⇔` `{2b}/{b^2+4}+{2a}/{a^2+4}=1`

Nhận xét :

`a=0` hoặc `b=0` không thoả mãn phương trình `(1)`

`⇒` `a,b>0`

Áp dụng BĐT AM-GM ta được :

`b^2+4≥2\sqrt[4b^2]=4b`

`a^2+4≥2\sqrt[4a^2]=4a`

`⇒` `{2b}/{b^2+4}≤{2b}/{4b}=2`

`⇒` `{2a}/{a^2+4}≤{2a}/{4a}=2`

`⇒` `{2b}/{b^2+4}+{2a}/{a^2+4}≤{2b}/{4b}+{2a}/{4a}=1`

Dấu `=` xảy ra 

`⇔` $\begin{cases} a^2=4\\b^2=4 \end{cases}$

`⇔` $\begin{cases} a=2\\b=2 \end{cases}$

`⇔` $\begin{cases} x=8\\y=8 \end{cases}$

Vậy phương trình có nghiệm là `x=8` , `y=8`