tìm các số hữu tỉ x,y thỏa mãn : `\sqrt{x}-2\sqrt{y}=2\sqrt{2-\sqrt{3}}`

Đáp án: $ x = 6; y = \dfrac{1}{2}$

Giải thích các bước giải:

ĐKXĐ $: x; y >= 0$

$ \sqrt{x} - 2\sqrt{y} = 2\sqrt{2 - \sqrt{3}} > 0$

$ <=> x - 4\sqrt{xy} + 4y = 4(2 - \sqrt{3}) (\sqrt{x} > 2\sqrt{y})$

$ <=> x + 4y - 8 = 4(\sqrt{xy} - \sqrt{3}) (*)$

Vì $x; y$ hữu tỷ mà $\sqrt{3} $ là số vô tỷ 

$=> \sqrt{xy} $ là số vô tỷ

$ (*) <=> x + 4y - 8 = \sqrt{xy} - \sqrt{3} = 0$

$ <=> x + 4y = 8; xy = 3$

$ <=> x = 8 - 4y; (8 - 4y)y = 3$

$ <=> x = 8 - 4y; 4y^{2} - 8y + 3 = 0$

$ <=> x = 8 - 4y ; (2y - 2)^{2} = 1$

$ <=> x = 8 - 4y; 2y - 2 = - 1; 1$

$ <=> x = 8 - 4y; y = \dfrac{1}{2}; y = \dfrac{3}{2}$

$ <=> x = 6; y = \dfrac{1}{2}$ (TM) (loại $ x = 2; y = \dfrac{3}{2})$