tập ngiệm của bất phương trình 9^x - 2.(x+5).3^x + 9.(2x+1) >= 0

Đáp án: $ x\le 0$ hoặc $x\ge 1$

Giải thích các bước giải:

Đặt $3^x=t, t>0\to 9^x=(3^2)^x=3^{2x}=(3^x)^2=t^2$

$\to$Phương trình trở thành:
$t^2-2(x+5)t+9(2x+1)\ge 0$

$\to t^2-2xt-10t+18x+9\ge 0$

$\to (t^2-10t+9)-(2xt-18x)\ge 0$

$\to (t-1)(t-9)-2x(t-9)\ge 0$

$\to (t-9)(t-1-2x)\ge 0$

Trường hợp $1: t-9\ge 0\to t\ge 9\to 3^x\ge 9\to x\ge 2$

$\to t-1-2x\ge 0$

$\to 3^x-1-2x\ge 0$

Mà $f(x)=3^x-1-2x\to f'(x)=\ln \left(3\right)\cdot \:3^x-2>0\quad\forall x\ge 2$

$\to f(x)$ đồng biến khi $x\ge 2$

$\to f(x)\ge f(2)$

$\to 3^x-1-2x\ge 3^2-1-2\cdot 2=4>0$

$\to 3^x-1-2x\ge 0,\quad\forall x\ge 2$

$\to x\ge 2(1)$(chọn)

Trường hợp $2:t-9\le 0\to t\le 9\to 3^x\le 9\to x\le 2$

$\to 3^x-1-2x\le 0$

Đặt $f(x)=3^x-1-2x\to f'(x)=\ln \left(3\right)\cdot \:3^x-2$

$\to f'(x)=0\to \ln \left(3\right)\cdot \:3^x-2=0$

$\to x=\dfrac{\ln \left(\dfrac{2}{\ln \left(3\right)}\right)}{\ln \left(3\right)}$

Lập bảng biến thiên

$\to f(x)\ge 0$

$\to x\le 0$ hoặc $x\ge 1$

Mà $x\le 2\to x\le 0 $ hoặc $1\le x\le 2(2)$

Từ $(1), (2)\to x\le 0$ hoặc $x\ge 1$