tập hợp tất cả giá trị của tham số thực m sao cho bất phương trình (log3(3x))^2-2(m+1)log3(x)-2<0 có nghiệm thuộc khoảng (căn 3,+ vô cùng)

Đáp án:

$\begin{array}{l}
{\left( {{{\log }_3}3x} \right)^2} - 2\left( {m + 1} \right){\log _3}x - 2 < 0\\
 \Rightarrow {\left( {1 + {{\log }_3}x} \right)^2} - 2\left( {m + 1} \right){\log _3}x - 2 < 0\\
Dat:lo{g_3}x = t\\
x \in \left( {\sqrt 3 ; + \infty } \right)\\
 \Rightarrow {\log _3}x \in \left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\\
 \Rightarrow t \in \left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\\
BPT:{\left( {t + 1} \right)^2} - 2\left( {m + 1} \right).t - 2 < 0\left( {t \in \left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)} \right)\\
 \Rightarrow {t^2} + 2t + 1 - 2mt - 2t - 2 < 0\\
 \Rightarrow {t^2} - 1 < 2mt\\
 \Rightarrow \dfrac{{{t^2} - 1}}{{2t}} < m\left( {do:t \in \left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)} \right)\\
f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} - 1}}{{2t}} = \dfrac{t}{2} - \dfrac{1}{{2t}}\\
 \Rightarrow f'\left( t \right) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{2{t^2}}} > 0\\
 \Rightarrow m > f\left( {\dfrac{1}{2}} \right)\\
 \Rightarrow m >  - \dfrac{3}{4}
\end{array}$