tam giác nhọn ABC đường tròn tâm ( O) , đường kính BC cắt AB , AC lần lượt tại E và D . Hai đường thẳng BD, CE cắt nhau tại H ; AH cắt BC tại F . M la trung điểm của AH . Chứng minh MD la tiếp tuyến của (O)

Có $\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90{}^\circ $ (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)

$\Rightarrow BD,CE$ là hai đường cao của $\Delta ABC$

Mà $BD,CE$ giao nhau tại $H$

Nên $H$ là trực tâm $\Delta ABC$

$\Rightarrow AH\bot BC$ tại $F$

Ta có: $\Delta ADH$ vuông tại $D$ với trung tuyến $DM$

$\Rightarrow MD=MA$

$\Rightarrow \Delta MDA$ cân tại $M$

$\Rightarrow \widehat{MAD}=\widehat{MDA}\,\,\,\left( 1 \right)$

Ta có $OD=OC=R$

$\Rightarrow \Delta OCD$ cân tại $O$

$\Rightarrow \widehat{OCD}=\widehat{ODC}\,\,\,\left( 2 \right)$

$\left( 1 \right)+\left( 2 \right)$, cộng vế theo vế, ta được:

$\widehat{MAD}+\widehat{OCD}=\widehat{MDA}+\widehat{ODC}$

Mà $\widehat{MAD}+\widehat{OCD}=90{}^\circ $

Nên $\widehat{MDA}+\widehat{ODC}=90{}^\circ $

$\Rightarrow \widehat{ODM}=180{}^\circ -\left( \widehat{MDA}+\widehat{ODC} \right)=180{}^\circ -90{}^\circ =90{}^\circ $

$\Rightarrow MD\bot DO$

$\Rightarrow MD$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$