sin$x^{2}$ (tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3

Đáp án:

$\left\{\begin{array}{I}x=-\dfrac{\pi}4+k\pi\\x=\pm\dfrac{\pi}3+k\pi\end{array}\right.$ $(k\in\mathbb Z)$

Giải thích các bước giải:

$\sin^2x(\tan x+1)=3\sin x(\cos x-\sin x)+3$

Điều kiện $\cos x\ne0\Leftrightarrow x\ne\dfrac{\pi}2+k\pi$

Phương trình tương đương:

$\sin^2x\left({\dfrac{\sin x}{\cos x}+1}\right)=3\sin x(\cos x-\sin x)+3$

$\Leftrightarrow\sin^2x\dfrac{\sin x+\cos x}{\cos x}=3\sin x(\cos x-\sin x)+3$

$\Leftrightarrow\sin^3x+\sin^2x\cos x=3\sin x\cos^2x-3\sin^2x\cos x+3\cos x$

$\Leftrightarrow\sin^3x+4\sin^2x\cos x-\sin x\cos^2x-3\cos x=0$

Chia cả hai vế cho $\cos^3x$ ta được:

$\tan^3x+4\tan^2x-3\tan x-3(\tan^2x+1)=0$

$\Leftrightarrow\tan^3x+\tan^2x-3\tan x-3=0$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{I}\tan x=-1\\\tan x=-\sqrt3\\\tan x=\sqrt3\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{I}x=-\dfrac{\pi}4+k\pi\\x=-\dfrac{\pi}3+k\pi\\x=\dfrac{\pi}3+k\pi\end{array}\right.$ $(k\in\mathbb Z)$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{I}x=-\dfrac{\pi}4+k\pi\\x=\pm\dfrac{\pi}3+k\pi\end{array}\right.$ $(k\in\mathbb Z)$.